COSA é LA PARABOLA?
In geometria, la parabola è una figura geometrica piana definita come il luogo geometrico dei punti nello stesso piano che sono equidistanti da una retta fissa d (chiamata direttice) e da un punto fisso F (chiamato fuoco), che non appartiene alla direttrice.
La parabola può essere descritta anche come una sezione conica, insieme all'ellisse e all'iperbole, in cui la sezione è ottenuta da un piano che taglia un cono a due falde. Se il piano taglia il cono in modo tale che sia parallelo ad una delle sue facce laterali, si ottiene una parabola.
A seconda che la direttrice sia orizzontale o verticale otterremo rispettivamente una parabola con asse di simmetria verticale oppure orizzontale.
Dalle due rappresentazioni possiamo elencare le definizioni degli elementi caratteristici di una parabola:
- asse di simmetria della parabola: è la retta che divide la parabola in due parti uguali;
- vertice della parabola: è il punto di intersezione tra la parabola e l'asse di simmetria;
- fuoco della parabola: è il punto che realizza la medesima distanza rispetto alla direttrice per ciascun punto della parabola;
- direttrice della parabola: è la retta che realizza la medesima distanza rispetto al fuoco per ciascun punto della parabola.
Nel caso dell'asse di simmetria verticale l'equazione della parabola è data da y = ax² + bx + c (con a diversa da 0).
I coefficienti a, b, c sono coefficienti numerici mentre x, y sono le incognite.
La logica dell'equazione rispecchia l'usuale condizione di appartenenza dei punti: un punto P = (x, y) appartiene alla parabola se e solo se le sue coordinate cartesiane x, y ne soddisfano l'equazione.
Per avere una parabola è necessario che la 'a' sia diversa da 0, altrimenti ci troveremmo con l'equazione di una retta: y = bx + c. I coefficienti b, c possono invece assumere qualsiasi valore.
Un aspetto importantissimo riguarda il segno del coefficiente a, il quale individua il verso in cui la parabola volge la propria concavità infatti se :
- a > 0 la parabola sarà rivolta verso l’alto;
- a < 0 la parabola sarà rivolta verso il basso.
Per calcolare le coordinate del vertice della parabola, del fuoco e per le equazioni dell'asse e della direttrice, occorre il Delta.
Nel caso della parabola ad asse di simmetria orizzontale valgono considerazioni del tutto analoghe rispetto al caso verticale, solo che l'equazione della parabola sarà x = ay²+by+c (con a diversa da 0). Anche qui la condizione per avere una parabola, e non una retta, è che a sia diversa da 0. Il segno del coefficiente a determina l'orientamento della parabola e in particolare la sua concavità:
- a > 0 parabola verso destra;
- a < 0 parabola verso sinistra.
Le formule per il calcolo delle coordinate del vertice della parabola, del fuoco e per le equazioni dell'asse e della direttrice sono le seguenti:
Equazione della retta tangente alla parabola in un punto
Esiste una formula che consente di calcolare l'equazione della retta tangente alla parabola in un suo punto, detta formula di sdoppiamento. A seconda che la parabola sia ad asse di simmetria verticale (y = ax2 + bx + c) od orizzontale (x = ay²+by+ c), detto P = (XP, YP) il punto in cui vogliamo determinare la tangente, quest'ultima avrà equazione rispettivamente data da:
Metodo dello sdoppiamento
Le formule di sdoppiamento sono preziosissime formule che ci permettono di raggiungere lo scopo senza effettuare alcun calcolo: per poterle applicare le uniche informazioni che ci servono sono l'equazione della conica e le coordinate del punto di tangenza.
Immaginiamo di avere l'equazione di una conica in forma canonica. A seconda dei casi essa presenterà termini nelle incognite x, y fino al secondo grado, ed in particolare potrebbe contenere tutti o alcuni tra i seguenti termini x², y², x,y che possiamo sostituire con le seguenti formule:
Alleghiamo dei link di video che possono risultare utili nello studio della parabola: COSA SAPERE SULLA PARABOLA , PLAYLIST SULLA PARABOLA, SVOLGIMENTO DI ESERCIZI
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